Midiendo el universo 1. La sombra de un palo.
Nuestro amigo Eratóstenes nació en el año 276 a. C. en Cirene, una ciudad griega en lo que es la actual Libia. Estudió en Atenas, donde fue discípulo de Zenón de Citio, fundador de la escuela filosófica estoica; y de Aristón de Quíos, otro estoico un poco más cercano a los cínicos. También se dice que fue un gran amigo de Arquímedes.
En el año 245 a. C., aceptando una invitación de Ptolomeo III se mudó a Alejandría, para trabajar en la Biblioteca como uno de sus bibliotecarios. Al cabo de cinco años, Eratóstenes accedió al cargo de bibliotecario en jefe de la institución, que ejerció con éxito hasta que debido a una enfermedad perdió la vista y -según cuentan- al no poder leer ni observar la naturaleza, la tristeza se apoderó de él y se dejó morir de hambre en el año 194 a. C.
Como buen polímata griego, se dedicó y destacó en varias disciplinas pero sus trabajos fueron especialmente pioneros en el campo de la astronomía y la geografía. Fue el primero en medir la inclinación del eje de rotación de la Tierra con respecto al plano de su órbita, el primero en hacer un mapa del mundo con paralelos y meridianos, inventó la esfera armilar y la geografía como disciplina científica y aparentemente midió la distancia de la Tierra al Sol y a la Luna.
Sin embargo, el experimento por el que es más conocido es aquel en el que midió la circunferencia de la Tierra usando la sombra que proyectaba un palo. La historia ya es legendaria, y el propio Carl Sagan la refiere en el primer episodio de la serie “Cosmos”, pero voy a recordarla brevemente para aquellos distraídos que aún no la conozcan.
En su tiempo en la Biblioteca de Alejandría, Eratóstenes lee en un texto un dato curioso. En la ciudad de Siena (que en la actualidad es Asuán, Egipto) en el mediodía del solsticio de verano puede verse reflejado el Sol en el fondo de un pozo de agua, lo que indica que el Sol se encuentra en ese momento en el cenit, el punto que está directamente encima de la cabeza del observador. Intrigado, se le ocurre verificar si sucede lo mismo en Alejandría. Ayudándose con un palo vertical clavado en la tierra -técnicamente se llama gnomón- no solamente observa que el mismo día a la misma hora pero en Alejandría, el gnomón proyecta efectivamente una sombra, indicando que el Sol no se encontraba en el cenit, sino que también la mide. Sabiendo el largo de la sombra y el largo del gnomón y al pensar en ellos como si fueran los catetos de un triángulo rectángulo, Eratóstenes pudo calcular el ángulo con el que incidían los rayos solares en Alejandría y obtuvo un valor cercano a 7°. La inspiración brillante de Eratóstenes consistió en deducir usando métodos geométricos sencillos (ver la ilustración adjunta) que esos 7° de diferencia en la inclinación de los rayos solares entre Siena y Alejandría corresponden también a 7° de la circunferencia terrestre, de modo que sabiendo la distancia entre Siena y Alejandría es posible calcular la distancia que corresponde a la totalidad de la circunferencia usando una simple regla de tres. Si 7° es aproximadamente 1/50 parte de los 360° totales, multiplicando la distancia entre Alejandría por 50 obtendría la circunferencia terrestre, es decir, podía calcular el tamaño de la Tierra.
En Siena (marcada con una A) los rayos solares caen perpendiculares sobre la Tierra y por eso el Sol puede verse reflejado en el fondo de un pozo de agua. Mientras, en Alejandría (marcada con una B), un gnomón proyecta sombra. Eratóstenes razonó que el ángulo con el que incide el Sol en el gnomón (marcado como α) es igual al ángulo que separa Siena y Alejandría sobre la circunferencia terrestre (marcado como α’), y sabiendo la distancia entre ambos lugares pudo calcular la totalidad de la circunferencia terrestre.
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En este punto del relato es donde generalmente por limitaciones de espacio o tiempo (“¡En televisión el tiempo es tirano!”) y también por cuestiones narrativas, para no tener que andar con aclaraciones posteriores y por el impacto mayor que tiene una historia bien cerradita que una que termina con un resultado incierto; y dependiendo mucho también de quién la cuente, se suele exagerar el resultado que obtuvo Eratóstenes. En la versión más difundida entre la gente que no se ha interiorizado en el tema, a Eratóstenes el cálculo le dio “bien”, obtuvo un resultado bastante preciso y todos nos maravillamos -y con razón- de la proeza del intelecto y el ingenio griego. Un hombre ha medido a la Tierra usando solamente la sombra de un palo y el poder de su mente. Asunto terminado.
Incluso en “Cosmos”, que es una serie maravillosa, Carl Sagan nos cuenta que la distancia entre Siena y Alejandría era de “800 kilómetros”, y como 800 kilómetros por 50 son 40000 kilómetros, y como ése es prácticamente el valor que hemos medido en la actualidad, nos dice que la respuesta que Eratóstenes obtuvo “es la correcta”, con un error de “apenas un porcentaje”. En realidad la cosa es un poco más compleja.
¿Cuánto le dio entonces el cálculo a Eratóstenes? Haciéndola corta, no lo sabemos. Sagan hace un poco de “trampa” cuando dice que Eratóstenes sabía que la distancia entre Siena y Alejandría era “de 800 kilómetros”. Eratóstenes, por supuesto, no usaba kilómetros. El metro es un invento de la época de la Revolución Francesa, que recién llegaría dos mil años más tarde. La distancia que se calculaba que había entre Siena y Alejandría y con la que trabajó Eratóstenes era de 5000 estadios. Con lo cual, la circunferencia de la Tierra mide 250.000 estadios (Eratóstenes luego corrigió ese valor a 252.000). Pero a diferencia del metro, que fue creado precisamente en un intento de aplicar la lógica y la razón a todo un sistema de unidades y medidas, no todos los estadios eran iguales en todos lados y no se sabe a ciencia cierta cuánto medía un estadio para Eratóstenes.
El estadio ático-italiano es el que se cree que es probable que haya sido usado. Mide 184,8 metros, y con ese valor se obtiene una circunferencia terrestre de unos 46570 kilómetros, que comparándola con los 40075 kilómetros que reportan nuestras mediciones actuales, nos da un porcentaje de error cercano al 15%. Otros sostienen que Eratóstenes podría haber utilizado el estadio olímpico, que equivale a 176,4 metros. Con ese valor, la circunferencia terrestre mediría 44450 kilómetros y el error de medición se reduce a un 10%. Algunos optimistas, sin embargo, sugieren que podría haber empleado el estadio egipcio que mide apenas 157,2 metros, con el que la circunferencia de la Tierra mediría unos 39615 kilómetros y el nivel de error se reduciría a casi un 1%. Los hinchas de Eratóstenes festejan entusiasmados y señalan que ése es seguramente el valor del estadio que Eratóstenes tenía en mente, y coinciden con Carl Sagan en que el error es de “apenas un porcentaje”.
Sin embargo, tengo malas noticias para los fanáticos de Eratóstenes. Además del detalle de que no sabemos con certeza a cuánto equivale un estadio, el razonamiento de Eratóstenes se basa en varias premisas que no son del todo correctas, por lo que es de esperar que sus resultados tuvieran un nivel de error considerable y no que obtuviera una respuesta con semejante precisión, así que prácticamente podríamos descartar al estadio egipcio aunque los hinchas de Eratóstenes nos abucheen y arrojen botellas.
En primer lugar, supuso que Siena y Alejandría estaban sobre el mismo meridiano, es decir, que tenían la misma longitud. Sin embargo, esto no es correcto. La diferencia de longitud entre ambas ciudades era de aproximadamente 3°, de modo que la distancia entre Siena y Alejandría incluye también a esa diferencia de longitud. La distancia que corresponde a la diferencia entre las latitudes, que es lo que realmente medía Eratóstenes con la sombra de su gnomón, es en realidad un poco menor.
En segundo lugar, Eratóstenes supuso que la Tierra era una esfera perfecta, algo que hoy sabemos que no es así. La Tierra tiene un achatamiento en los polos, por lo que 7° de latitud no corresponden siempre a una misma distancia, sino que varía de acuerdo a dónde nos ubiquemos. Cerca del Ecuador, esos 7° corresponden a una distancia menor que si estamos cerca de los polos.
En tercer lugar, la distancia de 5000 estadios que separaba Siena de Alejandría tampoco se basaba en una medición muy precisa, sino que se trataba más bien de un valor estimado, basado en el tiempo que les llevaba recorrer esa distancia a las distintas caravanas que comerciaban en la zona.
En cuarto lugar, Siena no se hallaba exactamente sobre el Trópico de Cáncer, por lo que en realidad el Sol allí no se encontraba exactamente en el cenit durante el solsticio de verano.
En quinto lugar, es de esperar un cierto nivel de imprecisión a la hora de determinar el ángulo con el que incidía el Sol sobre su gnomón en Alejandría. Midiendo el largo del gnomón y el largo de la sombra, podemos calcular cuál es la proporción entre ambas dimensiones y luego calcular a qué ángulo corresponde usando la inversa de la tangente en nuestra calculadora, pero en la época de Eratóstenes eso no era un asunto tan sencillo puesto que el cálculo trigonométrico no estaba tan desarrollado.
En sexto lugar, Eratóstenes supuso que los rayos solares que llegan a la Tierra son paralelos entre sí. Esto no es del todo cierto, aunque en el caso de Eratóstenes el ángulo es tan pequeño que bien podemos ignorarlo.
De todas maneras, de más está decirlo, nada de esto le quita una pizca de gloria a Eratóstenes y su cálculo. Aún en el peor de los casos, un error de un 15% a la hora de medir la Tierra usando la sombra de un palo es más que aceptable. Si la Tierra fuese una esfera de 15 centímetros de diámetro, un error del 15% equivale a 2,25 centímetros, es decir que estaríamos hablando de una esfera de casi 13 centímetros en vez de 15; prácticamente la misma esfera, apenas más chica. Yo creo que para todos los fines prácticos y para resarcir a la hinchada de Eratóstenes (de la que tengo que admitir que formo parte), le podemos dar el resultado por bueno.
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